Entretien du club de mathématiques avec le professeur Curtis McMullen

par Anne-Marie Oreskovich et Dmitry Sagalovskiy


Le semestre dernier, le club de mathématiques a eu le privilège d’interviewer Curtis McMullen, professeur et professeur de Harvard. Au cours de l’entretien d’une heure, le professeur McMullen a parlé de son parcours, de ses recherches, de ses expériences dans diverses universités du pays et de la médaille Fields. Le club de mathématiques aimerait remercier le professeur McMullen d’avoir pris le temps de nous permettre de mieux le connaître. Pour en savoir plus sur le professeur McMullen, consultez sa page Web à l’adresse http://math.harvard.edu/~ctm.


Q: Depuis combien de temps êtes-vous à Harvard?

M: Un an et demi si vous ne comptez pas mes jours d’étudiants diplômés.

Q: Vous étiez donc étudiant diplômé ici?

M: d’accord.

Q: Et où étiez-vous étudiant?

M: J’étais au Williams College, dans l’ouest du Massachusetts, puis j’ai passé un an à Cambridge, en Angleterre.

Q: D’où venez-vous?

M: C’est un peu une question difficile à répondre. J’ai essentiellement grandi à Charlotte, dans le Vermont, mais je suis né à Berkeley, en Californie. Nous avons également bougé un peu, mais je me considère comme venant du Vermont.

Q: Pouvez-vous nous en dire un peu plus sur la médaille?

M: Je pense que cela a commencé dans les années 1930. Il a été créé par un Canadien, Fields, et je sais qu’Ahlfors et Douglas ont reçu les deux premiers. Il est donné tous les quatre ans à l’ICM, et ces dernières années, il est donné à trois ou quatre personnes. Voyons donc, qui d’autre l’a eu cette année? Kontsevich, Gowers et Borcherds. En fait, tous, à l’exception de Gowers, ont passé du temps à Berkeley, où je me trouvais depuis sept ans. Je connaissais donc Borcherds et Kontsevich de Berkeley.

Q: Où étiez-vous quand vous l’avez découvert?

M: J’étais là. Vous le découvrez quelques mois à l’avance et il est supposé rester secret jusqu’au jour de la cérémonie. Donc en fait, je n’ai rien dit à personne, ce qui était assez difficile, car des rumeurs circulaient et je devais constamment les nier.

Q: Pouvez-vous nous en dire un peu plus sur vos recherches qui vous ont donné la médaille?

M: Permettez-moi de commencer par la direction de mes recherches. J’ai d’abord rédigé ma thèse à Harvard, mais je n’ai pas travaillé avec un professeur de Harvard. J’avais travaillé avec David Mumford sur des groupes kleiniens avant d’obtenir mon diplôme et je me suis intéressé à ce sujet. Mais j’ai fini par écrire ma thèse avec Dennis Sullivan, qui était à cette époque professeur à la City University à New York et à l’IHES en France. J’ai donc eu beaucoup de chance que Mumford me l’ait présenté au cours de la dernière année de ma carrière, alors que je n’avais ni conseiller ni sujet de thèse. Et je suis allé en France et j’ai travaillé avec Sullivan à l’IHES pendant un semestre et j’ai rencontré Steve Smale qui m’a donné ce problème de thèse sur la résolution d’équations polynomiales par itération.

Vous avez probablement entendu parler de la méthode de Newton pour résoudre les polynômes. Si vous appliquez la méthode de Newton à un polynôme cubique, cela risque de ne pas fonctionner. Vous pouvez rester coincé sous un minimum local. Et si vous modifiez un peu la supposition initiale, il se peut que cela ne converge pas vers une racine. La méthode de Newton n’est donc pas fiable pour résoudre des équations polynomiales. Le problème sur lequel j’ai travaillé était de savoir s’il existait un algorithme similaire à la méthode de Newton, impliquant l’itération d’une seule fonction rationnelle, capable de résoudre de manière fiable les équations polynomiales. J’ai été en mesure de prouver que la réponse est non pour le degré 4 ou plus et, en fait, j’ai trouvé un nouvel algorithme fiable pour la résolution des cubiques.

Ensuite, je suis allé à MSRI et j’ai passé un semestre au MIT, puis à Princeton pendant quatre ans. Peter Doyle et moi avons travaillé à Princeton sur la résolution d’équations du cinquième degré et nous avons trouvé ce magnifique algorithme inattendu de résolution de polynômes quintiques. Mais cela n’est pas contredit par ma thèse car c’est une tour d’itérations; c’est-à-dire que vous parcourez une fonction rationnelle, prenez la chose vers laquelle elle converge et branchez-la dans une autre.

Comme vous le savez peut-être, résoudre le quintique est lié au groupe de Galois A5 , et le fait que A5 est un groupe simple. Galois s’en servit pour prouver qu’il était impossible de résoudre l’équation quintique avec des radicaux.

Il s’avère que pour pouvoir résoudre une équation à l’aide d’une carte rationnelle itérée, il suffit de trouver une carte rationnelle dont le groupe de symétrie est le groupe de Galois du polynôme. À présent, il n’existe plus qu’un petit groupe de groupes pouvant être des groupes de symétrie sur la sphère de Riemann, et les plus intéressants proviennent des solides platoniques. Donc, A5, le groupe de symétrie du dodécaèdre, est le plus compliqué que vous puissiez obtenir. Nous avons utilisé cette carte rationnelle avec une symétrie A5 pour créer un nouvel algorithme permettant de résoudre de manière fiable l’équation quintique. De même, étant donné que S6 ou A6 ne fonctionne pas sur la sphère de Riemann, il n’existe pas d’algorithme similaire permettant de résoudre les équations de degré 6 ou plus. C’était donc mon premier domaine de recherche: la résolution de polynômes et la dynamique des cartes rationnelles.
Lien

Maintenant, la dernière chose sur laquelle j’ai travaillé à Princeton était la théorie de Thurston sur les 3-variétés hyperboliques. Thurston a mis au point un programme de recherche très efficace pour tenter de trouver une géométrie canonique pour les objets tridimensionnels. Par exemple, si vous imaginez que vous avez une variété, c’est-à-dire secrètement une sphère à trois sphères, si vous pouviez trouver une métrique arrondie dessus, vous la reconnaîtriez tout à coup comme une sphère à trois sphères. Donc, si vous pouvez trouver une métrique qui donne au collecteur une bonne forme, vous pouvez alors reconnaître ce que le collecteur est. Il s’avère que la plupart des variétés tridimensionnelles admettent ces métriques, mais que les métriques ne sont pas incurvées positivement comme la sphère à 3 sphères, elles le sont négativement. Par exemple, si vous prenez l’extérieur d’un nœud dans S3, un complément de nœud, il admet presque toujours une de ces métriques dites hyperboliques à courbure négative constante. À cause de cela, il existe maintenant des programmes informatiques, où vous pouvez simplement dessiner un nœud au hasard avec une souris, et cliquer, et dans une ou deux secondes, il vous dira exactement de quel nœud il s’agit. Et si vous lui donnez deux nœuds, il reconnaîtra immédiatement s’ils sont ou non le même nœud. C’est étonnant, car le problème de la classification des noeuds était classiquement extrêmement difficile à résoudre.

À Princeton, j’ai trouvé une nouvelle preuve analytique du théorème de Thurston qui fournit des structures hyperboliques sur de nombreuses variétés à 3, y compris la plupart des compléments de noeuds. Cette nouvelle preuve concerne la série de Poincaré, un sujet classique en analyse complexe, et conduit également à la solution de conjectures de Kra et Bers. Plus tard, à Berkeley, j’ai commencé à voir des parallèles entre la théorie des 3-variétés qui forment une fibre sur le cercle; ce sujet est traité dans 2 livres parus dans le livre « Annals of Math. Studies » de Princeton. La médaille Fields était, je suppose, en reconnaissance de ces projets.

J’ai donc travaillé sur la dynamique des cartes rationnelles et sur les variétés 3 hyperboliques, et sur les surfaces de Riemann en tant que telles, ainsi que sur la topologie des surfaces et des nœuds. Et ce que je voudrais souligner, c’est que pour moi, tous ces domaines sont vraiment les mêmes. Vous commencez très facilement à travailler sur un problème de dynamique et vous retrouvez quelques mois plus tard à travailler sur un problème de théorie des noeuds ou de topologie, car ils sont tous très interconnectés – noeuds, analyse complexe, polynômes, surfaces de Riemann, 3-variétés hyperboliques , etc. Il n’ya pas vraiment de nom pour ce domaine, mais c’est le domaine dans lequel je travaille.

Q: Vous avez donc été sans doute l’une des quatre meilleures écoles de mathématiques en Amérique: Princeton, Berkeley, MIT et Harvard. Pouvez-vous les comparer et les différencier en termes d’atmosphère, de convivialité, de rythme de travail, etc., pour les étudiants de premier cycle qui envisagent de poursuivre des études supérieures?

M: Ils sont vraiment différents. Laissez-moi laisser de côté le MIT, car je n’y ai passé qu’un semestre. Princeton est un département formidable, mais la ville est un peu étouffante et ennuyeuse pour un jeune. Il a la plus forte densité de personnes de « Who Is Who » et il est très cultivé. Il n’y a jamais rien d’inattendu qui se passe. Cela ne me semble donc pas très vivant. Mais je n’étais pas là en tant qu’étudiant diplômé. Princeton est un endroit merveilleux où aller si vous savez que vous ne serez pas là pour toujours. Je me souviens de mes années passées à Princeton.

Princeton et Harvard traitent très bien leurs étudiants diplômés. Il y a un bon ratio du nombre d’étudiants par faculté. Les étudiants sont bien financés et les départements sont suffisamment petits pour que les étudiants reçoivent beaucoup d’attention individuelle. Et je pense que les étudiants apprennent beaucoup les uns des autres dans les deux endroits. C’est un élément important des études supérieures.

Berkeley est aussi vraiment magnifique. C’est un endroit qui a un énorme département, une centaine de professeurs si vous comptez les émérites. J’ai vraiment adoré, mais il faut beaucoup d’énergie pour trouver un bon logement, un bon conseiller et pour se lancer dans le bon créneau, mathématiquement, etc. Mais comme vous le faites, cela vous rapporte beaucoup. Et le temps est magnifique. Vous pouvez marcher du campus dans Strawberry Canyon, puis dans Tilden Park, et être complètement à l’écart de l’humanité en moins de 40 minutes. (À Harvard, par contre, j’ai trouvé que je pouvais faire du vélo pendant une heure tout en restant en banlieue …) À Berkeley, les piscines sont en plein air, c’est très vivant et très tolérant – pour toutes sortes de choses. différents modes de vie, différents types de personnes. Vous ressentez un sentiment de liberté. Vous ne craignez pas d’essayer une nouvelle idée et de ne pas trop vous soucier de savoir si cela fonctionnera ou non. L’un des grands avantages de Berkeley est qu’il y a tellement d’étudiants diplômés et de post-doctorants dans la région, en particulier avec MSRI, que vous pouvez créer un groupe de travail sur n’importe quel sujet mathématique auquel vous pouvez penser. Il y a beaucoup d’intérêt mathématique là-bas.

J’ai aussi beaucoup aimé être étudiant diplômé à Harvard. Cambridge et Berkeley ont tous deux des avantages par rapport à Princeton, dans la mesure où ils sont jeunes, il y a beaucoup de choses à faire, ils sont proches d’une grande ville. D’après mon expérience universitaire, vous pouvez en dire un peu plus sur le fait que, même si je pense que Harvard est vraiment formidable, il est difficile de trouver un conseiller dans la région dans laquelle vous souhaitez travailler. Et je pense que le La clé du succès aux études supérieures est de trouver quelque chose qui vous intéresse suffisamment pour vous garder pendant quatre ou cinq ans.

Q: Pourquoi avez-vous choisi de venir à Harvard de Berkeley?

M: Je suis d’abord venu en tant que visiteur. Et j’ai trouvé ça vraiment amusant d’enseigner ici. À Berkeley, les classes pour les étudiants de premier cycle sont souvent très nombreuses et il était très gratifiant d’avoir ces très bons étudiants dans une petite classe. Et j’ai vraiment aimé le fait que le département soit suffisamment petit pour qu’il soit facile de connaître d’autres membres du corps professoral. Et bien sûr, depuis que je suis étudiant diplômé ici, j’ai toujours considéré Harvard comme étant ce lieu merveilleux. En fait, j’avais du mal à imaginer être professeur ici, alors je voulais explorer la situation. J’apprécie le fait que mes domaines d’intérêt diffèrent de ceux d’autres personnes du ministère, mais qu’ils se chevauchent. Je suis très intéressé par beaucoup de choses que d’autres personnes font ici. Donc, pour moi, d’une certaine manière, cela me permet de poursuivre mes études.

Q: Mais cela ne diminue-t-il pas vos possibilités de collaboration avec d’autres membres du corps professoral?

M: En premier lieu, je voyage beaucoup, alors je vois les gens qui sont dans mon domaine en France, à Stonybrook ou ailleurs. Cependant, la plupart des recherches sont faites par vos propres moyens; Je fais mes meilleures recherches par moi-même. Il est très utile de pouvoir argumenter avec un expert du domaine, mais le fait de collaborer avec quelqu’un qui se trouve exactement dans mon domaine ne me manque pas. Je dois admettre que ce fut une décision difficile de venir ici. La vie à Berkeley me manque et j’y passe peut-être un congé sabbatique.

Q: Vous voyez-vous comme un mathématicien de la Renaissance dans le sens où votre travail englobe une grande variété de domaines des mathématiques?

M (rire): Non, je me vois davantage comme un dilettante, quelqu’un qui touche à de nombreux domaines et qui s’intéresse à beaucoup de choses différentes; Je ne dirais certainement pas un mathématicien de la Renaissance. Maintenant, j’aime beaucoup de maths différentes et j’aime travailler sur quelque chose pour lequel je ne suis pas expert et apprendre à ce sujet. Ce domaine que j’ai décrit est vraiment merveilleux, car il est si vaste qu’il entre en contact avec de nombreux types de mathématiques. Quand je suis arrivé à Harvard, j’ai constaté que pour une grande partie de la théorie (comme la théorie de Hodge sur les variétés complexes, etc.), je ne la comprenais pas vraiment et je n’étais pas très motivé pour l’étudier. J’ai donc commencé avec un sujet que je pouvais vraiment bien apprendre: une variable réelle.

J’ai pris un vrai cours d’analyse quand j’étais au premier cycle; Je suis allé à Stanford pendant un an et j’ai suivi un excellent cours d’analyse de Benjamin Weiss, professeur invité de Jérusalem. Et cela m’a vraiment enthousiasmé pour l’analyse. Ensuite, je suis retourné à Williams et j’ai travaillé en étroite collaboration avec Bill Oliver. Il a eu beaucoup d’influence dans ma formation en mathématiques. C’est de lui que j’ai d’abord appris l’idée d’utiliser des dictionnaires en mathématiques comme une sorte d’analogie entre différents domaines ou différents développements théoriques pour tenter de guider mon travail. Donc, c’étaient mes premières influences.

Quand je suis arrivé à Harvard et que j’étais en train de me lancer. Je savais comment utiliser un programme informatique – j’avais travaillé pendant les étés chez IBM-Watson à Yorktown Heights – et Mandelbrot et Mumford collaboraient presque; Mandelbrot fournissait un accès aux ordinateurs de Yorktown Heights à Mumford, qui dessinait ces superbes images de groupes limites de groupes kleiniens. Connaissant le monde de l’informatique à Yorktown, j’ai commencé à travailler pour lui en tant que programmeur informatique, en l’aidant à dessiner ces images, etc. Vous devez imaginer que, à cette époque, nous devions passer un appel modem longue distance, puis travailler avec un programme d’écriture de terminal à 30 caractères par seconde en Fortran. Ensuite, nous dessinions une image et nous devions attendre une semaine pour qu’ils nous l’envoient de Yorktown pour voir si tout se passait bien.

Ensuite, je me suis intéressé à la dimension Hausdorff et, comme je connaissais une analyse réelle, j’ai essayé de travailler là-dessus. Mon premier article portait sur un problème que j’ai appris lorsque j’ai rencontré pour la première fois le professeur Hironaka, qui était professeur à Harvard à l’époque, alors qu’il était en congé au Japon. À son retour du Japon, il m’a posé cette question qu’il n’avait pas pu résoudre, qui consistait à calculer la dimension fractale d’un ensemble particulier. Cet ensemble est obtenu en traçant la lettre « M » et en répétant la même figure, comme indiqué ici.

En fin de compte, vous obtenez un ensemble avec n’est pas semblable à soi-même, mais il est auto-affine. Les fractales dont les dimensions sont faciles à calculer ont la propriété suivante: si vous prenez un petit morceau et le redimensionnez selon le même facteur dans les deux dimensions, il ressemblera à un plus gros morceau. Celui-ci a la propriété qu’un très petit écart peut être ajusté au grand écart, mais vous devez réduire par une puissance de deux dans une direction et par une puissance de trois dans l’autre; à cause de cela, sa dimension est délicate à calculer. Dans mon premier article de recherche, j’ai calculé sa dimension: D = log2 (1 + 2log3 2). C’était un problème merveilleux. J’ai beaucoup travaillé dessus. Vous pouvez voir que j’ai aimé rester proche du terrain de mathématiques que j’ai vraiment compris.

Ensuite, j’ai commencé à m’intéresser davantage à la dynamique complexe, alors je suis passé à une variable complexe à partir d’une variable réelle; Je suis toujours resté proche de choses que je pouvais vraiment comprendre. Alors maintenant, douze ans après mon doctorat, j’écris enfin un article sur la géométrie Kähler; et je ne me sentais certainement pas à l’aise avec les mesures de Kähler lorsque j’étais aux études supérieures. Je devais non seulement travailler sur les sujets, mais aussi voir une motivation interne pour les aborder, plutôt que de les laisser tomber de manière « bien, c’est ce que nous allons apprendre à l’avenir ».

Q: Quelle était l’analogie avec le dictionnaire dont vous avez parlé?

M: Ma plus grande influence mathématique a été mon directeur de thèse, Dennis Sullivan. Non seulement il était mon directeur de thèse, mais lorsqu’il était encore à l’IHES en France, nous passions quelques mois ensemble chaque été, et j’allais à son séminaire à New York ou à Princeton. Il est actuellement professeur à Stony Brook, dans l’État de New York, et j’essaie d’y aller environ une fois par an.

Sullivan a inventé un beau dictionnaire entre cartes rationnelles et groupes kleiniens. Une carte rationnelle est une carte de la sphère de Riemann donnée par le quotient de deux polynômes; par exemple x2+ c, où le polynôme du dénominateur est 1. L’intérêt d’étudier est l’itération de ces cartes. Lorsque vous avez une variété 3 hyperbolique compacte, son couvercle universel s’avère être la 3-billes solide (ouverte). Le quotient de la 3-boule par l’action du groupe fondamental de la variété initiale est à nouveau la variété. La boule 3 peut être compactée en ajoutant sa limite dans R3, à savoir la sphère S2. L’action de groupe sur la boule 3 s’étend jusqu’à la limite S2 sous forme de transformations de Möbius (c’est-à-dire des cartes de la forme (az + b) / (cz + d)). C’est ce qu’on appelle un groupe kleinien. Remarquez que nous avons commencé par considérer une variété tridimensionnelle avant de nous retrouver avec un système dynamique sur la sphère. Voici comment les deux sujets sont connectés. Il existe de nombreux théorèmes rendant cette connexion explicite. J’ai écrit un article d’enquête (« La classification des systèmes dynamiques conformes ») pour la conférence de Yau, qui a non seulement exposé ce dictionnaire, mais également un programme de recherche permettant de prouver ses résultats. Comprendre et développer ce dictionnaire a été une grande motivation dans mon travail. Par exemple, une grande lacune du dictionnaire consiste à inverser le processus que j’ai décrit. Si un système dynamique est défini sur la sphère, personne ne sait comment trouver un objet tridimensionnel qui lui est associé. Il reste beaucoup à faire dans ce domaine passionnant!

Q: Où gardez-vous votre médaille de terrain? Tu le gardes à la maison?

M (rire): Je ne peux pas révéler cette information!

Q: Quelle était la situation lorsque vous avez gagné la médaille du terrain? Comment vous sentiez-vous?

M: Ma première réaction a été celle d’un étonnement complet. J’étais vraiment abasourdi. Je pensais en fait que je n’étais pas qualifié, en termes d’âge. Je connaissais aussi tellement de grands mathématiciens ici, à Berkeley et ailleurs, que je ne pouvais pas croire que j’avais été sélectionné. De plus, en 1991, j’ai remporté le prix Salem, qui est un prix en analyse; J’étais heureux d’être reconnu de cette façon parce que j’aime vraiment le domaine – c’était mon premier en tant que mathématicien. En fait, j’avais rédigé ma thèse en tant qu’étudiant diplômé sur les numéros de Salem, et ce prix rend hommage à Raphael Salem. Il revêt donc une signification personnelle pour moi. Je ne m’étais jamais attendue à ce que ce type de reconnaissance soit reconnu. J’ai donc certainement eu le sentiment d’avoir déjà eu ma part de reconnaissance. (J’étais également surpris d’avoir reçu une offre de Harvard; là encore, je ne savais pas quoi dire.)

Cela me rappelle une phrase de Lipman Bers, qui était l’un de mes mentors; il a dit: « Les mathématiques sont quelque chose que nous faisons pour l’admiration déconcertante de quelques amis proches. » Je pense que c’est une bonne description des mathématiques; vous n’en attendez pas plus, car la satisfaction des mathématiques est vraiment une chose personnelle. Je suis donc très chanceux d’avoir été sélectionné pour être reconnu par le comité des médailles Fields.

Une des choses merveilleuses à propos des mathématiques est que la communauté est relativement petite. Lorsque je suis allé à Berlin pour recevoir ce prix, beaucoup de personnes que je connaissais bien au fil des ans étaient présentes – une merveilleuse communauté internationale d’amis. C’était vraiment une bonne chose.

Q: Comment avez-vous pu contenir votre enthousiasme?

M: Eh bien, ce qui s’est passé est si horrifié que j’ai vite oublié de l’oublier, parce que je ne pouvais vraiment pas y croire. Et puis de temps en temps, je m’en souviendrais. Et je penserais que cela ne peut pas vraiment être vrai (rire), et bien sûr, je n’aurais aucun moyen de vérifier, puisque cela devait être un secret.

Q: Y a-t-il autre chose que vous voudriez partager avec nous à propos de la médaille?

En fait, j’ai une histoire à propos de mon retour de Berlin. Le gardien de sécurité à l’aéroport qui utilisait le détecteur de métal m’a arrêté lorsque mon sac à dos a traversé la machine. Elle a dit: « Excusez-moi, qu’est-ce que vous avez dans votre sac à dos ici? » J’ai dit: « C’est une médaille d’or. » Elle dit, douteuse, « Mmm hmm. » Alors je l’ai sorti de mon sac. Un peu chagrinée, elle dit « Oh, très gentil; est-ce que c’est le tien? » J’ai dit « Mmm hmm! »

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *